浅谈函数点x处可微及其与可导的关系

摘要：可微与可导及其关系是微积分学中的一个入门级重点，更是一个难点。以增量、高阶无穷小为突破口，分析了可微与微分的定义，通过严格证明论述其与可导的关系，并举例说明微分的基本求法。

关键词：增量高阶的无穷小可微可导

中图分类号：G642文献标识码： A文章编号：1672-1578（2014)3-0065-02

1 引言

导数与微分是学习微积分学中的钥匙。经常给人不好理解的印象，但如果以增量、高阶无穷小为突破口，去看微分的定义，并严格证明论述其与可导的关系，在加上一些简单微分的基本求，达到条理清晰、深入浅出的效果。

2 增量△y是否能写成A△x+O（△x）的意义

2.1增量△y是否能写成A△x+O（△x）

设函数y=f（x）在点x的某个邻域=3x2·△x+（3x·（△x）2+（△x）3）内有定义，则y=f（x）在点x的增量△y=f（x+△x）-f（x）。如果我们对△y=f（x+△x）-f（x）的结果进行整理，就会发现，对于有些函数y=f（x）及点x来说△y=f（x+△x）-f（x）的结果可以整理成△y=f（x+△x）-f（x）=A△x+O（△x），这里A与△x无关，

O（△x）是较△x高阶的无穷小，但是对于有些函数y=f（x）及点x来说△y=f（x+△x）-f（x）的结果无法整理成上述形式。

例如：y=x2在点x0的增量就可以写成上述形式，△y=（x0+△x）2-x02=2x0·△x+（△x）2，这里2x0与△x无关，（△x）2是较△x高阶的无穷小。但是，y=在点x=0的增量就无法写成上述形式，△y=f（0+△x）-f（0）=-0= 。

2.2增量△y是否能写成A△x+O（△x）的意义

为什么要研究函数y=f（x）在点x的增量△y是否能写成

A△x+O（△x）呢？可以看到，如果函数y=f（x）在点x的增量

△y能写成△y=A△x+O（△x），那么当△x的值很小时，

O（△x）值就会比A△x的值小的多，可以忽略不记，即当△x的值很小时△y≈A△x，这时我们只要知道A的值就可以很方便地计算出函数y=f（x）在点x的增量△y的近似值。可见，函数y=f（x）在点x的增量△y是否能写成A△x+O（△x）有着非常重要的意义。

3 可微的定义

3.1什么叫可微

为了表达起来方便，如果函数y=f（x）在点x的增量△y能写成A△x+O（△x），我们就说函数y=f（x）在点x可微，并把

A△x叫做函数y=f（x）在点x的微分，用专门的符号dy来表示，否则我们就说函数y=f（x）在点x不可微。

3.2 微分的定义

定义：设函数y=f（x）在点x及其邻域内有定义，如果函数在点x处的增量△y=f（x+△x）-f（x）可表示为△y=A·△x+O（△x），其中A与△x无关，并且O（△x）是比△x高阶的无穷小量，则称函数y=f（x）在点x处可微，并称A·△x为函数y=f（x）在点x处的微分，记作dy或df（x），即dy=A·△x。

3.3怎样判断可微

根据微分的定义，要判断函数y=f（x）在点x处是否可微，只需要求出函数y=f（x）在点处的增量△y，看它能不能写成

A·△x+O（△x）的形式，如果能，就说明函数y=f（x）在点x处可微。

例如：证明y=x3在（-∞，+∞）内任意一点x可微。

证明：△y=f（x+△x）-f（x）=（x+△x）3-x3

∴ y=x3在点x处可微

注意：①函数y=f（x）在任意点x处的微分也称为函数

y=f（x）的微分。

②由微分的定义可以看到，如果函数y=f（x）在点x可微，那么函数的微分dy与函数的增量△y仅相差一个较高阶的无穷小量，因此当△x很小时，△y可用dy来近似代替，即△y≈dy。

4 可微与可导的关系

4.1可微与可导关系及证明

函数y=f（x）在点x的可微与可导有如下关系：

定理：函数f（x）在点x可微的充要条件是函数f（x）在点x可导，且当f（x）在点x可微时，其微分一定是dy=f′（x）·△x。

证明：①必要性

∵ f（x）在点x可微

则△y=f（x+△x）-f（x）=A·△x+O（△x）

=A+

=A

∴ f（x）在点x可导，且f′（x）=A

②充分性

∵ f（x）在点x可导

则=f′（x）存在

根据无穷小定理

-f′（x）=α （α是△x→0时的无穷小）

△y=f′（x）△x+α△x

∴f（x）在点x可微，且dy=f′（x）△x

这个结论说明一元函数的可微性与可导性是等价的。另外由这个定理可以看出，要求函数y=f（x）的微分，我们只须求出

f′（x），再乘以△x即可，即dy=f′（x）△x。

4.2微分的基本求法举例

例1，求函数y=cosx和y=ex的微分。

分析：根据前面的论述，要求函数的微分dy，我们可以先求出函数的导数f′（x），在乘以△x即可。

解：⑴ y′=-sinx， dy=-sinx·△x

⑵ y′=ex， dy=ex△x

注意：在微分的定义中，x是函数y=f（x）定义域内的任意一点，当x是某一定点x0时，函数y=f（x）在点x0的微分记为：

dy|或df（x）|，根据前面的论述dy|=f′（x0）△x。

例2 求函数y=x2在x=1和x=3处的微分

分析：要求函数在某个具体点的微分，我们可以先求出函数的微分，然后把这个具体点的值代入即可。

（下转68页）

（上接65页）

解：y′=2x，dy=2x·△x，dy|=2△x，dy|=6△x

例3 求函数y=x3当x=2，△x=0.02时的微分

解：y′=3x2，dy=3x2△x，d=3.22·0.02=0.24

例4 求函数y=x的微分，即求dx

解：dy=（x）′△x=△x

在这个例子中由于y=x，因此dy又可以写成dx，所以dx=△x，我们把dx称为自变量的微分，即自变量的微分等于自变量的增量。由于dx=△x，因此函数y=f（x）的微分也可表示为

dy=f′（x）dx，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积，上式也可写作f′（x）=，即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分之商，这也是我们通常说的导数也称为微商，以前我们把看作是导数的整体记号，现在就可以把它看作是分式了。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系 数学分析（上册）[M].高等教育出版社，2007.

[2]苏德矿，吴明华，金蒙伟. 微积分（上）[M].高等教育出版社, 施普林格出版社, 2001.

[3]华东师范大学数学系 数学分析（上册）[M].人民教育出版社, 1981.

[4]龚怀云，刘跃武，陈红斌，向淑晃.数学分析[M].西安交通大学出版社, 2000.

作者简介：舒伟前（1979—），男，安徽安庆人，杭州技师学院基础部讲师，研究方向：数学教学与教学管理。

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