基于OWA加权平均的模糊贴近度在企业管理领域模式识别中的应用研究
[摘 要]模糊贴近度的常用方法主要包括最大最小贴近度、算术平均最小贴近度、几何平均最小贴近度、Hamming贴近度。本文在讨论模糊对称交互熵的数值特征基础上，提出模糊对称交互熵贴近度的概念和计算公式；在讨论三角模糊集及权重、正态模糊集及权重的基础上，提出模糊贴近度OWA加权平均的方法。最后以企业管理领域的模式识别为例，应用专家测评方法，进行被测样本模式归属的实证研究。
[关键词]模糊贴近度；OWA加权；模式识别
doi：10.3969/j.issn.1673 - 0194.2017.12.060
[中图分类号]F279.23 [文献标识码]A [文章编号]1673-0194（2017）12-0-03
模糊贴近度作为一种处理客观研究对象不确定性的数学工具，在企业管理的控制、决策、推理等多个环节中有着广泛的应用。本文主要研究模糊贴近度在工商企业管理领域进行模式识别的应用。当一个对象在诸多样本标准中与某一样本标准的贴近度最大，则认为这一对象归属这一样本是合理的，这就是最大贴近度原则。赵沁平对模糊集合的贴近度进行了梳理和归纳。卢国祥提出了一种基于模糊信息的距离测度，即模糊对称交互熵，指出模糊对称交互熵可用于模式识别。本文的创新之处在于对模糊对称交互熵进行深入研究，揭示其数值的形态特征，提出模糊对称交互熵贴近度的概念和方法，同时，提出以下的论题：本文的任务不是罗列各种模式识别的方法，得出各种模式识别的结论，而是要在各种方法的基础上，综合出一种更为合理的结论。
1 模糊贴近度
常见的模糊贴近度用以下各式进行表示。
定义1：设离散论域X={x1，x2，x3，…，xn}，Ã和为X上的模糊子集，∨和∧表示通常的格运算。
（1）最大最小贴近度
（1）
（2）算术平均最小贴近度
（2）
（3）几何平均最小贴近度
（3）
（4）Hamming贴近度
（4）
2 模糊对称交互熵贴近度
2.1 模糊对称交互熵
卢国祥阐述了模糊对称交互熵的定义。
定义2：设A=（μA（x1），μA（x2），…，μA（xn））；B=（μB（x1），μB（x2），…，μB（xn））为两个模糊向量。
对于某个xi，定义μA（xi）对μB（xi）的交互熵为：
于是两个模糊集A对B的模糊交互熵（Fuzzy Cross Entropy，FCE）可定义为：
（5）
上述定义的模糊交互熵（FCE）只满足非负性，但不满足对称性和三角不等式。所以对其进行改进，提出如下的模糊对称交互熵定义。
定义3：设A=（μA（x1），μA（x2），…，μA（xn））；B=（μB（x1），μB（x2），…，μB（xn））为两个模糊向量。
F（A||B）和F（B||A）分别是A对B和B对A的模糊交互熵。由此对应A与B的模糊对称交互熵（Fuzzy Symmetric Cross Entropy，FSCE）为：
D（A||B）=F（A||B）+F（B||A）（6）
文[2]中证明了模糊对称交互熵具有非负性、对称性，满足三角不等式，因此构成两个模糊向量的度量。这在某种意义上可以表现为两个模糊向量之间的距离。当距离较大时，可以认为其较不“贴近”或“贴近”的度量较小；当距离较小时，可以认为其较“贴近”或“贴近”的度量较大。显然，模糊对称交互熵用于模式识别也是可行的，只是它的度量和贴近度的度量意义正好相反。为了使模糊对称交互熵和贴近度在相同意义下用于模式识别，对两者的数值特性进行比较是必要的。一个问题是模糊对称交互熵的数值是不是和贴近度一样满足0≤σ≤1，下文进行一个具体的数值计算。
2.2 模糊对称交互熵的数值讨论
例1：设：A=（0.2，0.4，0.5，0.1）；B=（0.2，0.3，0.5，0.2）
同样可计算F（B||A）=0.066，于是D（A||B）=0.1254。
这一模糊对称交互熵正好在[0，1]，但是一般情况需要深入讨论。从模糊对称交互熵的计算公式可以看出，模糊对称交互熵是关于两个模糊向量的2n个隶属度的多元函数。为了简化讨论，又不失一般性，这里仅对两个一元互补模糊向量进行讨论。
例2：设：
例3：设
从例2和例3可以看出，模糊对称交互熵是超出[0，1]的。并且当A的隶属度取值在0～0.5，隶属度趋向于0时，F（A||B）是增加的，隶属度趋向于0.5时，F（A||B）是减少的。
定理1：设模糊向量A=（1-x），B=（x）；x∈[0，0.5]则：
（1）F（A||B）在所论区间上是递减函数；
（2）；
（3）；
证：（1）
求导数
故为递减函数。
（2）
故，
（3）代入即可。
定理2：设模糊向量A=（1-x），B=（x）；x∈[0，0.5]
则F（A||B）=F（B||A），于是D（A||B）=2F（A||B）=2F（B||A）证：
即得證明。
2.3 模糊对称交互熵贴近度
有了上述简明情况作为基础，为了和贴近度有同样的数值性质，现定义以下的模糊对称交互熵的贴近度变换式是合适的。
定义4：设A=（μA（x1），μA（x2），…，μA（xn））；B=（μB（x1），μB（x2），…，μB（xn））为两个模糊向量。称：
（7）
为模糊对称交互熵贴近度，可记为FSCE贴近度，在本文中FSCE贴近度记为σ5（A，B）。
3 OWA加权平均
有了文中5种贴近度，可以进行5种模式识别。它们的差别表达了各种不同方法对对象和样本之间相似状况的各种不同视角的反映。人们似乎不必在意其间的所谓优劣，转而对其进行综合处理是一种可行的方法。在处理时，可以采取抑制极端值，提升中间值的OWA加权平均方法。
3.1 三角模糊集及权重
设有模糊集合B=（b1，b2，…，bi，…，bn）
bi为第i位评分者的评分值。0≤bi≤1，i=1，2，…，n。现在论域U=R上建立三角模糊集
（8）
显然，这是一个三角模糊集以为轴的对称分布的图形。
如，n=5，则其分布为：
（0.2， 0.6， 1， 0.6， 0.2）（9）
由于权重wi必须满足wi∈[0，1]，
所以对（8）式进行归一化处理，得基于三角模糊数的权重分布
（10）
由此，可得（9）式的权重分布为
（0.077 0，0.203 8，0.384 6，0.203 8，0.077 0）（11）
3.2 正态模糊集及权重
设有模糊集合B=（b1，b2，…，bi，…，bn）
bi为第i位评分者的评分值。0≤bi≤1，i=1，2，…，n现在论域U=R上建立正态模糊集：
（12）
其中
显然，这是一个正态模糊集以为轴的对称分布的图形。
如，n=5，则其：
则其分布为：
（0.367 9，0.778 8，1，0.778 8，0.3679）（13）
对（12）式进行归一化处理，得基于正态模糊数的权重分布：
（14）
其中，i=1，2，…，n
于是式（13）变换为：
（0.112 0，0.236 0，0.304 0，0.236 0，0.112 0） （15）
3.3 OWA加权平均
1989年美国学者Yager提出OWA算子
设F：Rn→R，如果
（16）
其中，（a1，a2，…，an）为模糊向量，w=（w1，w2，…，wn）T是权重向量，其是与F相关联，由F所决定的。显然，，aj∈[0，1]wj∈[0，1]，且（j=1，2，…，n）。（b1，b2，…，bn）是把（a1，a2，…，an）重新由大到小排列后得到的，其第j大的数记为bj，即bj=σ（j）。
上述的F称为n维OWA算子。OWA算子的关键之处在于，要对（a1，a2，…，an）这一表示评语集的数组按大到小重新排列，而对第j大的数据bj赋予wj的权重。这里wj只与第j个位置相关，而这一位置放置的数据即为第j个大，或由大到小排列时居第j位。
第（16）式给出的加权是通常采用的（·，+）型加权。如果权重采用上述的三角模糊数型，或正态模糊数型，由于其中间位置取值较大，两侧对称地取逐次递减的较小的值。加权时，将使中间位置的数值得以提升，而两侧、较大、较小的值得以抑制，达到了减弱极端值在整体评价中的比重的作用。
例，在对某一指标评价中，有5位评分者，得到的评分向量为
（0.2，0.7，0.5，0.9，0.4）
按数值由大到小，重新排列后，得（0.9，0.7，0.5，0.4，0.2）
应用（11）式所示的权向量，应用OWA算子，所得的F值为：
（17）
bij为（a1j，a2j，a3j，a4j，a5j）依大到小，重新排列后第i大的值。即bij=σ（i）。
cj表示B與Aj的OWA综合加权平均贴近程度。用它于模式识别具有抑制极端值，提升中间值的作用，比较科学客观。
5 应用实例
在工商企业管理领域有众多需要进行模糊模式识别的领域，如产业集群发展模式的识别、并购中目标企业的评估、中小企业技术创新模式的选择、新兴商业模式的评测，以及市场营销中难以通过准确量化进行衡量的质量判定问题等。本文试通过实例确立基于OWA加权平均的模糊贴近度在模式识别问题领域的数学应用模型。在管理学中常见的模式识别问题中，以A1、A2、A3、A4、A5、A6分别代表不同的标准模式；本实证研究选取各模式中最具代表性特征的Z1、Z2、Z3三个指标为测评指标；B表示待估样本。依据专家打分取均值的方法，确立标准模式及待估样本的指标数据，并标准化到[0，1]，从而建立模糊集合。如表2所示。
即σ5（A1，B）=0.6646
对于数据进行从大到小的排列，且采用式（11）赋予的权重，根据式（17）计算得：C1=0.7631×0.0770+0.7452×0.2038+0.69×0.3846
+0.6646×0.2038+0.5939×0.0770=0.6572
同理可求C2、C3、C4、C5、C6。
的计算结果看，样本的OWA综合加权平均贴近度C2最高，表示样本与A2集合最为贴近，可以判定待估样本为A2标准模式。表中的其他数据提供了样本与其他标准贴近的不同情况的信息，也有价值。
6 结 语
模糊贴近度是模糊数学中的重要理论，在模糊数学以及模糊信息处理中具有重要的理论和实际意义。本文梳理了各种模糊贴近度，还在此基础上提出了模糊对称交互熵贴近度的概念和方法。并且运用OWA加权平均的方法，对5种模糊贴近度进行均衡处理，得出了较为合理的识别结果。
主要参考文献
[1]赵沁平.模糊集合的模糊度与贴近度[J].数学的实践与认识，1982（1）.
[2]卢国祥.一种基于模糊信息的距离测度及应用[J].模糊系统与数学，2014（1）.