浅谈导数在函数中的应用

摘 要：导数在函数中应用很广泛，可以判断函数的单调性，函数的极值与极值点，函数在某区间上的最大（小）值，函数的凹凸性及拐点等等. 导数是分析解决问题的有效工具。

关键词：导数 函数的单调性 极值与极值点 最大（小）值 凹凸性及拐点

导数（导函数的简称）是近代数学的基础，是数学教学中最重要的基本概念之一。导数是联系初高等数学的纽带。导数的引出及定义始终贯穿着函数思想，它是一个特殊的函数，并且它在函数的应用中起着非常重要的作用。本文拟就导数在函数的应用谈一点个人的想法和体会。

导数在函数的应用主要有：判断函数的单调性；求函数的极值与极值点；求函数的最大值与最小值；判断函数的凹凸性以及求函数的拐点。

导数是我们学习微积分的基础，它是微积分的核心概念之一，它反映了函数变化的快慢程度，它是一种特殊的极限，导数是求函数单调性、极值与极值点、最大（小）值、凹凸性及拐点等问题的重要工具。

导数（Derivative）是当自变量增量趋于零时函数增量与自变量增量之比值的极限。当一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。函数可导性与函数连续性的概念都描述函数在一点处的状态，导数的大小反映了函数在一点处变化（增大或减小）的快慢。可导的函数一定连续，不连续的函数不一定可导。导数实质上就是一个求极限过程。导数的计算方法也很灵活。[1]

一、用导数判断函数的单调性

函数的单调性是函数的一个重要特性。如果函数y=f（x）在[a，b]上单调增加，那么它的图形是一条沿x轴正向上升的曲线。上面每一点处的切线与x轴正向的夹角都是锐角，此时切线斜率大于零， 即 y=f′（x）>0；反之则有相反的结论。[2]

注：利用导数求函数的单调性的步骤是：

（1）确定函数y=f（x）的定义域.（2）求导数f′（x），解出令f′（x）=0的点（驻点）以及导数不存在的点.（3）驻点及导数不存在得的点将函数f（x）的定义域分成若干个小区间，在每个小区间内判断函数导数f′（x）大于零还是小于零，若f′（x）>0，则函数在该区间内为增函数， 若f′（x）<0，则函数在该区间内为减函数】

二、用导数求函数的极值与极值点

判定极值的充分条件

设函数y=f（x）在x0连续，且在x0的某邻域内可导（点x0可除外）.如果在该邻域内

（1）当x< x0时，f′（x）>0；当x> x0时，f′（x） <0，则x0 为f（x）的极大值点.（2）当x< x0时，f′′（x） <0；当x> x0时，f′（x） >0，则x0 为f（x）的极小值点.

如果f′（x）在x0的两侧保持同符号，则x0不是f（x）的极值点。

欲求出函数的极值点，先要求出其驻点和导数不存在的点，然后再利用求极值的充分条件来判断这些点是否为极值点。

注：用导数求函数极值的方法和步骤

（1）确定函数y=f（x）的定义域（2）求导数f′（x），解出令f′（x）=0的点（驻点）和f′（x）不存在的点。（3）对每个驻点及导数不存在的点进行检验，判断在每个点的左右侧导数f′（x）的符号如何变化；如果f′（x）的符号是左减右加，则该点为极小值，如果f′（x）的符号是左加右减，则该点为极大值，如果驻点两侧f′（x）的符号是一致的，则该点不是极值点。

三、用导数求函数的最值

由闭区间上连续函数的最大值与最小值定理得知，如果f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上必定能取得最大值与最小值。

注：求f（x）在[a，b]内最值的方法：

（1）求出f′（x）在（a，b）内的所有驻点和导数不存在的点的函数值及f（a）与f（b）。（2）比较上述点的函数值的大小，其中最大的值为f（x）在[a，b]上的最大值，而最小的值，即为f（x）在[a，b]上的最小值。

由上述可以看出，最大值和最小值是函数f（x）在区间[a，b]上的整体性质，而极大值和极小值是函数f（x）在某点领域内的局部性质。[3]

四、用导数判定函数的凹凸性及拐点

1.函数的凹凸性的定义

设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导

（1）若对于任意的x0∈（a，b），曲线弧y=f（x）过点（x0，f（x0））的切线总位于曲线弧y=f（x）的下方，则称曲线弧y=f（x）在[a，b]上为凹的。（2）若对于任意的x0∈（a，b），曲线弧y=f（x）过点（x0，f（x0））的切线总位于曲线弧y=f（x）的上方，则称曲线弧y=f（x）在[a，b]上为凸的。

2.曲线凹凸性的判定法：

设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，

（1）若在（a，b）内f′′（x）>0， 则曲线弧y=f（x）在[a，b]上为凹的。

（2）若在（a，b）内f′′（x）<0， 则曲线弧y=f（x）在[a，b]上为凸的。

3.曲线的拐点

连续曲线弧上凹弧和凸弧的分界点，称为该曲线弧的拐点。

注：求连续曲线弧y=f（x）的拐点的一般步骤为：

（1）在f（x）所定义的区间内，求出二阶导数f′′（x）等于零的点。

（2）求出二阶导数f′′（x）不存在的点，

（3）判定上述点两侧，f′′（x）是否异号。如果异号，则该点为曲线弧的拐点，如果同号，则该点不是该曲线弧的拐点

总之，在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，要重视数学思想方法的应用，以达到优化解题思维，简化解题过程的目的。更在于方便学生掌握科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。而导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，函数的极值与极值点，函数在某区间上的最值，函数的凹凸性以及拐点问题。

参考文献

[1]刘小兵；《浅谈导数的应用》.

[2]刘文学； 郑素文《经济数学》[M]； 上海交通大学出版社

[3]曹萍芳； 导数在函数中的应用 [J]； 《华夏女工：华夏教育》 2009年第8期

作者简介：

雷艳阁 性别： 女，陕西省渭南市人，1982年出生 学历：大学本科 职称：渭南技师学院讲师 研究方向：数学与应用数学

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