一类脉冲系统最优控制的数值计算
【摘 要】针对带跳跃函数的脉冲系统最优控制，先将最优控制问题通过求解其梯度的方法，将最优控制问题转化为规划问题，然后探讨利用控制参数的方法，将其其相应的最优参数选择问题。
【关键词】脉冲系统 最优参数选择问题 梯度公式 二次规划问题
一、引言
上个世纪初期，随着最优控制理论在军事和生产实践中的不断应用，不同系统的最优控制研究引起了很多数学家的极大兴趣。而最优控制的数值计算是最优控制实现应用的关键环节之一，但是不同的控制系统，其数值计算的方法各异，尤其一些带脉冲的偏微分控制系统的最优控制问题的数值计算没有统一固定的方法。本文尝试通过控制参数的方法探讨一类带跳跃函数的脉冲系统最优控制问题，将其转化为二次规划问题的数值计算。
二、脉冲系统最优参数问题（P）的描述
受控系统为：
（1.1）
其中，是处的跳跃函数，且定义为：
； （1.2）
是满足李普希兹和线性增长条件的函数。为了方便，定义
其目标泛函是：
（1.3）
问题（P）就是在满足（1.1）的前提条件下，寻找一个，使得目标泛函达到最小值。对于问题（P）为了采用非线性数学规划方法求解首先需要求
的梯度。令
（1.4）
对每一个固定的，设为的分段右连续函数，在上右连续，且满足如下协态方程
（1.5）
其中为方程（1.1）对应于参数的解。设为协态方程（1.5）的对应于的解，则有如下的梯度公式：
定理1.1.
（1.6）
证明
给定，设中的任意向量，记，其中为一很小实数，不妨记是系统（1.1）对应于的解，则有
则
即
（1.7）
而
其中为任意的，则
（1.8）
其中
代入（1.8）得
注意到
（1.9）
根据协态方程组（1.5）的左连续，的右连续性得
代入（1.9）得
由的任意性故有
三、脉冲系统的最优参数问题的计算
最优参数选择问题（P）的计算，就是找到一个，使得达到最小值。
如果我们任意给定一初始值，则由Tayler展开式有目标泛函为：
，
其中H为的Hessian矩阵，
，
为了处理问题的方便，我们用一个正定的对称矩阵来替代，该矩阵记为，则原来的问题就成了
，
要想使达到最小值，很显然它等价于子问题（）
满足
；
；
其中。这样就将原来的问题转化成了一个二次规划问题。
满足
令
即
使得
；
；
从而用二次规划的方法解。
四、结论
由上述推导过程可以知道，脉冲系统的最优参数选择问题就是对于给定的一个初始估计，求解方程（1.1），得到；再由协态方程（1.5）求得相应的；最后利用定理1将问题（）由数学规划的方法来求解。
参考文献：
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[5]Luo Dong-sheng，ect.Transformation from the optimal control to the optimal parameter[J]，Journal of Zunyi Normal College，Vol.11， No.4，83-85.
作者简介：
罗东升，男，湖南衡阳人，遵义师范学院副教授，硕士。