函数的案例教学与教学案例

摘 要: 为了培养能够解决实际问题的应用型学生,高职经济数学教学方式需要转变,本文以函数一章为例,阐述了函数部分改革的思想、方式和相关案例,教会学生建立函数模型,解决实际问题。

关键词: 高职数学 函数 案例教学

高等职业教育培养的是面向社会生产、管理、服务等一线岗位,直接从事解决实际问题的应用型技术人才。为了实现这一培养目标,高职数学教学正在向以培养学生的数学素质为宗旨的能力教育转变。在这种转变中,如何改革高职数学教学,尽快提高数学教学质量,让学生对数学课堂产生兴趣,并能应用数学知识解决部分生活中的问题,已经成为一大重点问题和难题。

在众多的改革队伍中,我校基础部的数学教研室的教师在积极地对经济数学的教学模式和教学内容进行大胆的改革。在此次的教学改革过程中,采用了模块化教学,并且每个模块由专门的教师负责,从教哪些内容,什么是重点难点,如何教,到实际应用部分(与专业结合),全权由该教师负责。先由负责每个模块的教师手写教学大纲,教学内容,然后试讲给其他教师听,听取建议后修改,再到试点班级试讲,经过多次修改后方可在全校范围内推行试用。这是一个辛苦而又漫长的过程,对于教师和学校而言都是一次大胆的尝试。为了更好地工学结合,让学生用数学知识解决生活问题,我校教师积极地搜集数学模型、教学案例,甚至是到其它专业课教材中寻找与数学挂钩,能用数学解决的专业问题。以下我们以函数一章为例阐述教学思路和教学过程。

函数的概念高中时学生都已经学过,所以我们在课程安排中只简单地带领学生回顾函数的类型及其简单的图像,而不作过多的理论说明。我们教学的目标很明确,教会学生学会用函数建立数学模型,将生活中的问题模型化,然后解决问题。本章使用案例教学法,通过案例的讲解,模型的建立,教会学生相关问题的解决方案。以下为部分具体案例。

案例一:《中华人民共和国个人所得税》规定,公民月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税,超过2000元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表计算:

(纳税款=应纳税所得额×对应的税率)

按此规定解答下列问题:

(1)设甲的月工资为5000元,他需缴纳税款多少?

(2)若乙一月份应交所得税款95元,那么他一月份的工资是多少元?

本题是用列表法表示的分段函数型应用题,解题的关键是理解税率表,要将超2000元部分分段,每段对应不同的税率,应交税款是每段税款之和。

解:先列出函数模型:

f(x)=0(x≤2000)(x-2000)×5%(2000

化简后得到模型:

f(x)=0(x≤2000)(x-2000)×5%(2000

(1)将x=5000代入f(x)=(x-4000)×15%+175,得到:f(5000)=(5000-4000)×15%+175=325元。

(2)因为95<175,所以选择代入f(x)=(x-2500)×10%+25;

得到(x-2500)×10%+25=95,x=3200元。

分析:分段函数在现实生活中的运用非常多,比如以时间、重量、距离为计量单位的收费系统,场地租赁费,邮政信函、包裹,行李运输费的计算,这些都是不同的情况下不同的收费标准,所以需要分段函数来计算。又如商店里面的折扣,购买不同的数量有不同的折扣数,这些都可以通过建立分段函数的模型进行求解,所以教会学生分段函数的建立是函数运用过程中的重要部分。

案例二:外币兑换与股票交易中的涨跌停板

按某个时期的汇率,若将美元兑换成加拿大元,货币值增加12%,而将加拿大元兑换成美元,币面值减少12%,今有一美国人准备到加拿大度假,他将一定数额的美元兑换成了加元,但后来因故未能成行,于是他又将加元兑换成美元。经过一来一回的兑换,结果白白亏损了一些钱,这是为什么?

解:设x美元可兑换的加元数为y=f(x),

y加元可兑换的美元数为x=φ(y)。

y=f(x)=x+0.12x=1.12x,

x=φ(y)=y-0.12y=0.88y。

先把x美元兑换成加元,得加元数为f(x),

再把这些加元兑换成美元,所得美元数应为Z=φ[f(x)],

即:Z=φ[f(x)]=0.88f(x)=0.88×1.12x=0.9856x

因为y=f(x)与x=φ(y)不是互为反函数,所以不同,若互为反函数,则φ[f(x)]=x,不会亏损。

分析:现实生活中有许多亏与挣的事情发生,如何挣,为什么亏?我们需要用理性的眼光来看待,而直接凭感觉是不行的,感觉在很多时候会欺骗你。我们需要教会学生用数学的理性的眼光看待身边简单的问题,然后通过具体的分析来了解这是一个什么过程。上面的案例不仅仅在外币兑换中经常出现,而且在股票市场中也屡见。上海及深圳证券交易所为抑制股票市场中的过度投机,规定了一只股票在一个交易日的涨停跌幅均不得超过10%的限制,分别称之为“涨停板”和“跌停板”。若某只股票第一个交易日涨停,而第二个交易日又跌停,则股价并不是简单地回到原地,而是比上涨前更低了。这其中道理与造成外币损失的原理是相同的。

案例三:某物业公司策划出租100间写字楼,经过市场调查,当每间写字楼租金每月定为5000元时,可以全部出租;当租金每月增加100元时,就有一间写字楼租不出去。已知每租出去一间写字楼,物业公司每月需为其支付300元的物业管理费,求租金与收入的函数模型。

解:设租金定位x元每月,则每月每间收入为x-300元,收入为R(x),

R(x)=(x-300)(100-)

=(x-300)(150-x)

分析:这也是现实生活中经常遇到的问题,涨价了,固然消费者将减少,当减少的比例一定的情况下(当然这需要有市场调研),那么什么样的价格是最合适的,到底能挣到多少?这些都将不再成为难题,可以通过成本、收入及利润之间的关系得到答案。

案例四:抵押贷款——每月还贷问题

模型:设贷款额为A,月利率为R,抵押贷款期限为N个月,按复利计算,每月还钱x元,还款约定从借款日的下一个月开始。

x=,这是一个非常有用的公式,只需代入贷款数额和月利息率,期限即可很快算出每月需向银行还多少钱。在这个公式中,可能有人会觉得次方高,无法计算,但其实随着电脑的普及,我们可以通过点击电脑的“开始”菜单,然后“程序”→“附件”→“计算器”→“查看”→“科学型”→,就可以很快得到任何高次方的答案。

例:若小王夫妇购买了一套三居室的房子,共50万,首付了10万,其余向银行贷款,申请按揭,银行的月利息率为0.5%,贷款期限为10年,试问小王夫妇每月要还银行多少钱?

解:A=400000,R=0.005,N=120,代入x=,

x=≈4439。

答:小王夫妇每月需向银行交4439元。

分析:目前很多中国家庭都在贷款买房,每月在供房,如何计算房贷,贷款多少钱合适,到底自己还了银行多少贷款,付出了多少利息钱,都可以通过这个公式求出。又如现在很多商家在进行分期付款的购物促销,表面上每个月只需几百就可以购买几千甚至几万的商品,但实际上这样是否划算,也可以代入上面的公式进行计算。将自己的财务状况掌握在自己手中,而不是仅靠银行或者商家来计算,等待着别人说要交多少钱就多少钱,这才是现代理性人的精明财务头脑。

以上案例仅仅为函数这章教学改革中的部分案例,除此以外,我们还安排了常用经济函数(成本、收入、利润、需求、供给函数),计算单利、复利、贴现及物流中一致性存贮模型等的专题讲座,在教学的过程中,我们采用案例教学,用生活中常见的例子来建立函数模型,不仅吸引了学生学习的兴趣,而且教会了学生如何利用数学来解决生活中的实际问题,除此以外,我们还鼓励学生提出生活中的问题,尝试着用数学思维来解答,让学生主动去思考和探索,不再是被动地接收知识,而是自己动脑思考,动手计算,大大增强了学生运用数学模型解决实际问题的能力。

我们的研究还是初步的,我们将在以后每章的教学内容、教学方法等方面不断进行改革探索,为提高高职数学教学的教学质量而不懈努力。

参考文献:

[1]李心灿.高等数学应用205例.高等教育出版社,2005.

[2]杨桂元.数学模型应用实例.合肥工业大学出版社,2007.

课题项目:“十一五”科研规划课题《基于应用型人才培养的高职数学教学改革实践研究》教机职字2009310号

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